Soal Relasi Rekursif
1. Ada barisan yang memenuhi relasi rekursi an = 3an-1+ 4n-2 untuk n ≥ 2.
Diketahui bahwa A0 = 3 dan a1 = 4 . Tentukan nilai dari a2, a3 dan a4
Jawab:
a2 = 3a2-1 + 4a2-2
= 3a1 + 4a0
= 3 (4) + 4 (3)
a2 = 24
a3 = 3a3-1 + 4a3-2
= 3a2 + 4a1
= 3 (24) + 4 (4)
a3 = 96
a4 = 3a4-1 + 4a4-2
= 3a3 + 4a2
= 3 (96) + 4 (24)
a4 = 384
2. Ada barisan yang memenuhi relasi rekursi an – 2an-1 – 3n-2 = 0 untuk n ≥ 2.
Diketahui bahwa a0 = 01 dan a1 = 0. Tentukan nilai dari a2 dan a3!
Jawab:
Memindahkan suku selain an ke sebelah kanan menjadi an = 2n-1 + 3an-2
Kemudian, menjumlahkan persamaan tersebut dgn memasukkan suku n = 2 dan n = 3
a2 = 2a2-1 + 3a2-2
= 2a1 + 3a0
= 3 (0) + 4 (-1)
a2 = -4
a3 = 2a3-1 + 3a3-2
= 2a2 + 3a1
= 2 (-3) + 3 (0)
a3 = -6
3. Ada barisan yang memenuhi relasi rekursi an – an-1 - 55-2 + 4an-3 = 0 untuk n ≥ 3.
Diketahui bahwa a0 = -1, a1 = 0, a2 = 1. Tentukan nilai dari a3!
Jawab:
Memindahkan suku selain ke sebelah kanan menjadi an = an-1 + an-1 + 5an-2 – 4an-3
Kemudian, menjumlahkan persamaan tersebut dgn memasukkan suku n = 4
a3 = 2a2-1 + 3a2-2
= 2a1 + 3a0
= 3 (0) + 4 (-1)
a3 = -4
4. Diketahui : Suatu barisan c0, c1, c2, … didefinisikan secara rekursif sebagai berikut :
Untuk semua bilangan bulat k ≥ 2,
Ck = (ck-1 + k) (ck-2 + 1)
Dengan kondisi awal c0 = 1 dan c1 = 2.
Hitunglah c5 !
Jawab:
Oleh karena barisan didefinisikan secara rekursif, maka c5 tidak bisa dihitung secara langsung,
tetapi harus terlebih dahulu menghitung c2, c3 dan c4.
C2 = c1 + 2.c0 + 1 =
2 + 2.1 + 1 = 5
C3= c2 + 3 c1 + 1 =
5 + 3.2 + 1 = 12
C4= c3 + 4 c2 + 1 =
12 + 4.5 + 1 = 33
C5= c4 + 5 c3 + 1 =
33 + 5.12 + 1 = 94
Jadi, c5 = 94
5. Tentukan baringan yang merupakan solusi dari Relasi Rekursi an = 3an-1, jika diketahui a0 = 2.
Jawab :
an = 3an-1
an = 3(3an-2) = 32.an-2
an = 3(3(3an-3)) = 33 . an-3
.
.
.
an = 3n.an-n = 3n.a0
an = 2 . 3n
Sehingga barisan an = 2 . 3n merupakan solusi dari Relasi Rekursi an = 3an-1
dengan nilai awal a0 = 2.
Ichsan Perdana Putra
13091995 - 2IA13